矩阵-λ-矩阵知识点

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λ-矩阵

矩阵的秩

定义. 若矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素为关于 $\lambda$ 的多项式，则称 $\mathbf{A}$ 为$\lambda$-矩阵 (表示为 $\mathbf{A}(\lambda )$).

$\lambda$-矩阵也存在秩、初等变换、相抵、逆等概念, 但是有一些不同.

定义. $\lambda$-矩阵的秩是指最高阶非零子式的阶数. 对于方阵而言, 若秩等于阶数, 则称其为满秩的.

定理. 方阵满秩的充要条件是行列式非零.

定义. $\lambda$-矩阵的初等行变换是指由以下3种行操作构成的矩阵变换: ① 交换两行; ② 数乘行; ③ 一行乘以 $\psi (\lambda )$ 倍加到另一行，其中 $\psi (\lambda )$ 是以 $\lambda$ 为变元的多项式. 类似地定义初等列变换. 由初等行变换和初等列变换构成的矩阵变换称为初等变换.

可以看出, 初等行/列变换仅③和常数矩阵不同, 乘以常数换成了乘以多项式.

定义. 若一个$\lambda$-矩阵可经有限次初等变换得到另一个$\lambda$-矩阵, 则称两个矩阵相抵.

定理. 初等变换不改变$\lambda$-矩阵的秩, 即相抵的$\lambda$-矩阵一定等秩.

但是等秩的矩阵不一定相抵, 如
$$A_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
秩都为2但不相抵 (显然, 二者的Smith标准形为自身, 但并不相等, 因此二者不相抵).

定理. 满秩方阵相抵的充要条件是行列式差一个非零常系数. (证明需借助Smith标准形的有关知识)

矩阵的逆

定义. 对于方阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, 若存在方阵 $\mathbf{B}(\lambda )$, 使得 $\mathbf{A}(\lambda )\mathbf{B}(\lambda )=\mathbf{B}(\lambda )\mathbf{A}(\lambda )=\mathbf{I}$, 则称 $\mathbf{A}(\lambda )$ 为可逆阵, $\mathbf{B}(\lambda )$ 为 $\mathbf{A}(\lambda )$ 的逆矩阵.

类似常数矩阵, 有如下定理:

定理. $\lambda$-矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.

由此可知: $\lambda$-矩阵可逆一定满秩，但满秩不一定可逆.

定理. 对于 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$, 若存在 $n$ 阶$\lambda$-矩阵 $\mathbf{B}(\lambda )$, 满足 $\mathbf{A}(\lambda )\mathbf{B}(\lambda )=\mathbf{I}$ 或 $\mathbf{B}(\lambda )\mathbf{A}(\lambda )=\mathbf{I}$, 则 $\mathbf{A}(\lambda )$ 是可逆的, 且其逆矩阵为 $\mathbf{B}(\lambda )$.

定理. 方阵可逆的充要条件是相抵于单位阵. (证明需借助Smith标准形的知识)

证明: $n$ 阶 $\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$ 可逆 $⟺$ 其行列式为非零常数 $⟺$ 其满秩且 $n$ 阶行列式因子为 $1$ $⟺$ 其 Smith 标准形为单位阵.

定理. 对 $\mathbf{A}(\lambda )$ 作初等行变换 $\varphi$ 相当于左乘可逆阵 $\varphi (I)$, $\mathbf{A}(\lambda )$ 作初等列变换 $\psi$ 相当于右乘可逆阵 $\psi (I)$.

推论. $m\times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $\mathbf{A}(\lambda )$ 相抵于 $m\times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $\mathbf{B}(\lambda )$ $\Rightarrow$ 存在 $m$ 阶可逆阵 $\mathbf{P}(\lambda )$ 和 $n$ 阶可逆阵 $\mathbf{Q}(\lambda )$, 使得: $\mathbf{P}(\lambda )\mathbf{A}(\lambda )\mathbf{Q}(\lambda )=\mathbf{B}(\lambda )$.

修订于2024年2月12日