概率论-蒙特霍尔问题（选择三扇门后的车与羊）及其贝叶斯定理数学解释

1. 蒙特霍尔问题

有一个美国电视游戏节目叫做“Let’s Make a Deal”，游戏中参赛者将面对3扇关闭的门，其中一扇门背后有一辆汽车，另外两扇门后是山羊，参赛者如果能猜中哪一扇门后是汽车，就可以得到它。

通常，当参赛者选定了一扇门时，节目的主持人蒙特霍尔（Monty Hall）会打开剩余两扇门中的一扇（主持人知道门后是什么），让你看到门后的山羊，此时会询问参赛者是否换门，大部分参赛者认为这时关闭的两扇门中奖的概率是一样的，即都是1/2，通常他们不会改变他们第一次的选择。您是否觉得两个问题几乎一样呢？

网上说法很多，我们以标准版：主持人事先知道答案，会打开一扇你没选择的门，且其背后一定是羊为条件，其他情况不在此过多的扩展。如下图所示剩下两个门供你选择。

参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、羊A和羊B，再选择转换后的获胜概率为2/3。

2. 数学解释

蒙特霍尔问题的数学证明可以通过贝叶斯定理来完成。我们可以先了解一些定义。

2.1. 贝叶斯定理

2.1.1. 独立事件概率

我们设定事件$A$的概率为$P(A)$，事件$B$的概率是$P(B)$，且事件$A$和事件$B$是相互独立的。
则事件$A$和事件$B$同时发生的概率，满足如下公式：
$P(AB)=P(BA)=P(A)P(B)$

2.1.2. 条件概率

条件概率是在某种条件下，某个事件发生的概率，展示了事件之间的内在联系和影响。
我们来看两种条件概率的简单表述。

1.事件$A$发生之后，事件$B$发生的概率，可以记做$P(B|A)$，此时满足公式：
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，即 $A$ 和$B$ 同时发生的概率除以 $A$ 发生的概率。
等价于 $P(AB)=P(B|A)P(A)$

2.事件$B$发生之后，事件$A$发生的概率，可以记做$P(A|B)$，此时满足公式：
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
等价于 $P(AB)=P(A|B)P(B)$

3.综合这两种条件事件，可以得到公式：
$P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$

2.1.3. 贝叶斯公式

我们综合计算得到一个公式：
$P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$

这个公式做一个变形可以得到贝叶斯公式：
$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

2.1.4. 先验概率和后验概率

在贝叶斯公式中，还隐含着一些术语：

• $P(A)$是$A$的先验概率或边缘概率，它不考虑任何$B$方面的因素。
• $P(A|B)$是$B$发生后$A$的条件概率，由于得自$B$的取值被称作$A$的后验概率。

2.2. 贝叶斯定理解释蒙特霍尔问题

前面我们提到了，关键条件在于主持人选择B门后是无车的，这个事件对于已作出选择的参赛者来说是否有影响呢？后验概率是否产生了影响，我们来推导一下：

• 设定A、B、C门后有汽车分别记为事件$A$、$B$、$C$，
  则$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$。
• 设定参赛者选择了A门，由于主持人默认需要选择没有汽车的门，因此参赛者的选择影响了主持人的选择。
• 设定主持人选择了B门且没有汽车，记为事件$D$，
  则$P(D|A)=\frac{1}{2}$（因为如果选手最初选择了A门，主持人可以选择打开B或C，而汽车在B或C的概率相等）
  $P(D|B)=0$（因为主持人不会打开选择的门）
  $P(D|C)=1$（因为如果选手最初选择了C门，主持人只能选择打开B门）。
• 在主持人选择B门无汽车后，参赛者选择A门有车的概率为$P(A|D)$，即事件$D$发生后事件$A$的概率，由贝叶斯公式得：
  $P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$
• 通过前面的分析，我们只需要求$P(D|A)$、$P(A)$、$P(D)$三个元素即可。
  • $P(D|A)$表示A门有汽车的情况下，主持人选择B门的概率，其为$\frac{1}{2}$;
  • $P(A)$表示A门有汽车的概率，其为$\frac{1}{3}$;
  • $P(D)$可以从全概率公式求得，其为$\frac{1}{2}$：
    $P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$
    $P(D)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
• 综上得到：
  $P(A|D)=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$

在主持人选择B门开启后无汽车的情况下，参赛者选A门有汽车的概率$P(A|D)=\frac{1}{3}$，因此后验概率并没有发生变化，并不是直观的$\frac{1}{2}$，而仍然是$\frac{1}{3}$。

因此，如果做调换门，那么相当于参赛者选择了C门，计算过程类似，概率为$\frac{2}{3}$：
$P(C|D)=\frac{P(D|C)P(C)}{P(D)}$
$P(C|D)=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

3. 歧义的理解，扩展条件

3.1. 概述

蒙特霍尔问题之所以那么多年来争论不休，本质上是由于语义理解上的歧义；事实上，根据不同的理解方式，蒙特霍尔问题一共有 4 个本质不同的版本。如果不了解其他版本的话，那当你在现实中遇到其他蒙特霍尔问题的变体时，也会很容易想当然地给出错误的答案。

其实，这个问题一共有两个“歧义”点，缺一不可：

• 主持人是否能确保避免打开正确答案？
• 主持人是否一定会验证一个和你选择不同的门？

3.2. 歧义4个版本

根据这两个问题的答案，我们就得到了这个问题的 4 个版本：

• 版本1（标准版）：主持人事先知道答案，会打开一扇你没选择的门，且其背后一定是羊；（1-是；2-是）
• 版本2（验证版）：主持人事先并不知道答案，随机打开了一扇你没选择的门，其背后恰好是羊；（1-否；2-是）
• 版本3（机选版）：主持人让系统随机打开一扇背后是羊的门，它恰好打开了一扇你没选择的门；（1-是；2-否）
• 版本4（随机版）：主持人让系统随机打开一扇门，它恰好打开了一扇你没选择的门，且其背后是羊；（1-否；2-否）

注：1与2是指上面的歧义点。

那么，我们该怎么理解这 4 个版本的不同之处呢？它们的本质不同在于：主持人的行为是否需要承担泄露结果的「风险」，使得「条件概率」发生变动。易见，在最初的状态下，我们选中汽车的概率是 1/3。

• 版本1（标准版） ，无论我们是否选中汽车，主持人总能找到 1 个背后是羊的门，这件事情是 100% 能达成的，所以概率分布完全没变，我们选中汽车的概率依然为 1/3；
• 版本2（验证版），主持人显然冒了风险，如果你选中了羊，那他有 1/2 的概率会选中汽车，所以我们选中汽车的条件概率变成了 （1/3） /（ 1/3+2/3×1/2）=1/2；
• 版本3（机选版），主持人其实也冒了风险，虽然不可能打开背后是汽车的门，但是在你选中羊的时候，有 1/2 的概率会随机你选择的门，所以我们选中汽车的条件概率变成了 （1/3） /（1/3+2/3×1/2）=1/2；
• 版本4（随机版），主持人显然冒了双重风险，一个风险是，打开了你选择的门；另一个风险是，它打开了你没选择的门，但其背后是汽车；在这种情况下，条件概率的分子分母都会变化；我们选中汽车的条件概率变成了（1/3×2/3）/（1/3×2/3+2/3×1/3）=1/2

除了「标准版」的答案是 1/3（应该换门）外，其他版本的答案均为 1/2 （换不换均可）。

由此可见，同一件事物对于不同人甚至掌握不同信息的同一个人概率可能不同。因此，概率并不能寄托在实际的物体上，而是存在于条件之下。

参考：

曾加. 蒙提霍尔问题（又称三门问题、山羊汽车问题）的正解是什么？. 知乎. 2022.04